بحث عن ضرب المصفوفات بالشرح والامثلة

بحث عن ضرب المصفوفات : في الحضارة الصينية القديمة وجد العلماء أقدم شكل للمصفوفة وكان هذا ما بين 300 قبل الميلاد الي 200ميلادية وكانت مستخدمة انذاك في حل المعادلات كما وجدوا بحثا للعالم الياباني سيكي تاكازوا عن المصفوفة وهذا كان عام 1683 وفي عام 1750 نشر عنها العالم الرياضي غابريل كرامر في قواعده في الحساب وتخصصت المصفوفة قديما في علم المحددات ولم يظهر شكلها المعروف بمجموعة مرتبة من الأرقام علي يد العالم جي جي سلفستر وفي عام 1855 قام آثر كايلي بتقديم تمثيل خطي لمجموعة من العناصر واسماها مصفوفة ومن هنا جاءت البداية الحقيقية لعلم الجبر الخطي وحل المعادلات واستخدام المصفوفات في ذلك كعلم قائم بذاته

وعلي ذلك فان المصفوفة جزء هام من فرع الجبر الخطي وهو فرع اساس في تكوين علم الرياضيات ويستخدم ف تغطية موضوعات هامة جدا فيه مثل نظرية المخططات والجبر وعلم الاحصاء والتوافقيات

شكل المصفوفة

شكل يتكون من جدول للاعداد او العناصر او الرموز او الدوال الرياضية علي أن تكون هذه الاعداد صحيحة او مركبة موضوعة بين قوسين معقوفين أو مربعين وتكون مرتبة ف خط أفقي وخط آخر عمودي

اما الخطوط الافقية فانها تسمي اسطر أما الخطوط العمودية تسمي عمود اما ما بداخل القوسين فانه يسمي عناصر او مدخلات وتكتب المصفوفة بحرف لاتيني كبير تحته عدين طبيعين صحيحين بحرف صغير وليكن m,n فان  m هو عدد الصوف وn  هو عدد الأعمدة.

وهذه هي المصفوفة متعددة العناصر  

ويكون لكل مصفوفة ابعاد وقياس وهو ناتج ضرب عدد الاعمدة في عدد الصفوف  وعلي ذلك فان حيز المصفوفة يساوي حاصل ضرب m*n

ويوجد شكل آخر من المصفوفات وهو المصفوفة المعروفة بعمود واحد أي أن m*1 وتسمي مصفوفة المتجه العمودي

أما المصفوفة المكونة من صف واحد وعمود واحد تسمي بالمتجه صفر وتكون a1*n

تعرف ايضا

بحث عن نظرية ذات الحدين وتوضيح شامل بالامثلة

تعريف المصفوفة

المصفوفة تعد من أهم فروع الجبر الخطي وتعرف أنها دالة رياضية خطية تعمل علي تحويل مجموعة مجموعة بداية مجال الي الوصول الي نهاية مدي او مجال ويمكن أن تكون هاتين المجموعتين المكونين من الدالات الرياضية أو أشعة دالات رياضية

 ويمكننا من هنا القول بشكل مبسط هي هيئة من الأعمدة والصفوف لمجموعة من الأعداد المحصورة بين قوسين في شكل مستطيل وتخضع المصفوفات الي العمليات الحسابية بأشكالها من جمع وطرح وضرب  فتتم عمليات الجمع بين المصفوفات المتساوية القياس وتحم نفس الخصائص الخاصة بالعمليات الحسابية العادية لكن مع خلاف أن عملية الضرب تحدث بانسجام ليس له صفة التبادلية وللتوضيح نشرح

ضرب المصفوفات

اهم ما يميز هذه العملية انها غير تبادلية من هذا نجد أنه يلزم لاجراء عملية الضرب بين المصفوفات أن تكون عدد الاعمدة في المصفوفة الآولي مساويا لعدد لعدد الأسطر في المصفوفة الثانية فلو أنه لدينا مصفوفتين A,B فان A=a*b ,b=c*d

من أجل أن تتم عملية الضرب للمصفوتين هنا لابد ان b=cبحيث أن b هي عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى وc تساوي عدد الأسطر في المصفوفة الثانية وهذا الشكل للمصفوفة يتم للمصفوفة وحيدة السطر وحيدة العمود حيث أن A=(a1+a2+a3)

B=(a1

a 2

a 3)

تتم عملية A*B=((a1)(b1)+(a2)(b2)+(a3)(b3))

أما عن النوع الثاني من المصفوفات المعتددة العناصر تتم بنفس الشرط ، ولذلك نقوم بتقسيم المصفوفة الأولي الي سطور والثانية الي اعمدة ثم نقوم بعملية الضرب كالآتي فيكون

وهناك نوع آخر من المصفوفات يسمي المصفوفة المربعة وهي تلك التي تحتوي علي عدد الأسطر مساويا لعدد الأعمدة  وعلي فان المصفوفة Aالتي لها نفس البعد قابلة للعكس اذا وجدت المصفوفة Bالتي تحقق الاتي A*B=1n

اي ان المصفوفة المربعة الذي ليس لها نظير ضربي تسمي  المصفوفة المنفردة واذا كانت لها نظير ضربي تسمي المصفوفة المنفردة ومن هنا كانت النظرية التالية الصمفوفةAمنفردة اذن محددها يكون صفرا

واذا تم تبديل الأعمدة بالأسطر يسمي ذلك بمنقول المصفوفة ومن خواصه أن (A+B)^T=A^T+B^Tحيث ان A^Tهو منقول المصفوفة فانه يكون منقول مجموع المصفوفتين يساوي مجموع منقول المصفوفتين

ومن خواصه ايضا ان منقول حاصل ضرب مصفوفتين يساوي ناتج ضرب المصفوفتين بشكل معكوس اي ان (A*B)^T=B^T*A^T

تعرف ايضا على

بحث عن ضرب العبارات النسبية وقسمتها  بالشرح كاملا وبالامثلة

متى تعتبر المصفوفة قابلة للعكس

تعتبرالمصفوفة قابلة للعكس اذا وجدت المصفوفة B المحققة للعلاقة A*B=1n

فحاصل ضرب المصفوفة في معكوس نفس المصفوفة يعطينا مصفوفة يطلق عليها مصفوفة الوحدة اذا كانت nمصفوفة غير شاذة يكون معكوسها وحيد  ومن خصائص معكوس المصفوقة ان معكوس معكوس المصفوفة  هو المصفوفة الأصلية منقول معكوس مصفوفة يساوي معكوس منقول معكوس المصفوفة معكوس جداء مصفوتين يساوي حاصل ضرب المصفوفة الثانية في معكوس الأولي

لضرب المصفوفة خواص هي

انها عندما عملية توزيعية تكون

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

عملية الضرب  للمصفوفات عملية تجميعية حيث أن

(AB)C=A(BC)

لا تكون عملية الضرب تبديلية  ولكن عملية تبديلية معرفة ABلا تساوي BA