بحث عن تحليل الدوال

1. مفهوم الفضاء.

تعتبر مساحات ناقلات الطوبولوجيا (cf.). فضاءات ناقلات الطوبولوجيا هي أكثر المساحات العامة التي يتم تحليلها في تحليل الدوال . هذه مسافات متجهة (خطية) على ميدان الأعداد المركبة (أو أي حقل آخر ، على سبيل المثال الرقم الحقيقي ، ) وهي مساحات طوبولوجية متزامنة وحيث تكون البنية الخطية والطوبولوجيا متوافقتين بمعنى أن العمليات الخطية مستمرة في الهيكلية قيد النظر. على وجه الخصوص ، إذا هي مساحة متريّة ، ثمّ لدى المرء مساحة متجه متجهية.

وينشأ وضع أكثر خصوصية ، ولكنه هام للغاية ، عندما يكون مفهوم القاعدة (طول) المتجه يتم تقديمه بشكل محوري في الفضاء المتجه . تُسمى المساحة المتجهة مع القاعدة مساحة قياسية. فمن metrizable. مقياس هو المقدمة من الصيغة: . تُسمى مساحة المتجه مع القاعدة مساحة Banach إذا كانت مكتملة فيما يتعلق بالمقياس المشار إليه.

في عدد كبير من المشاكل تنشأ الحالة حيث يمكن للمرء إدخال منتج داخلي لأي متجهين في الفضاء الموجه ، بحيث هذا المنتج يعمم المنتج القياسي المعتاد في الفضاء ثلاثي الأبعاد. تسمى المساحة المزودة بمنتج داخلي بمساحة ما قبل هيلبرت. إنها حالة خاصة من الفضاء المعياري. إذا كانت هذه المساحة مكتملة ، فسيتم تسميتها بمساحة هيلبرت.

تتم دراسة المساحات اللانهائية الأبعاد في تحليل الدوال ، أي الفراغات التي توجد بها مجموعة لا نهائية من النواقل المستقلة خطيًا.

من وجهة النظر الهندسية فإن أبسط المساحات هي مساحات هيلبرت التي لها خصائص تشبه في الغالب المسافات ذات الأبعاد المحدودة ، لأنه من الممكن إدخال مفهوم مشابه لمفهوم الزاوية بين متجهين عن طريق المنتج الداخلي. على وجه الخصوص ، اثنين من المتجهات يقال أن تكون متعامدة إذا . النتيجة التالية صحيحة في : دعونا يكون فضاء جزئي من ، ثم أي ناقل لديه إسقاط على ، وهذا هو ، ناقل مثل ذلك هو متعامد لأي متجه في . وبسبب هذه الحقيقة ، يمكن نقل عدد كبير من المنشآت الهندسية التي تحمل مساحات محدودة الأبعاد إلى فضاء هيلبرت ، حيث تكتسب في كثير من الأحيان شخصية تحليلية.

تصبح الأسئلة الهندسية أكثر تعقيدًا بشكل واضح عند الانتقال من فضاء هيلبرت إلى مساحات باناخ ، وأكثر من ذلك في فضاءات ناقلات الطوبولوجيا العامة ، لأن الإسقاط المتعامد ليس له مغزى فيها. على سبيل المثال ، في الفضاء ( ) المتجهات تشكل أساسا بمعنى أنه لكل متجه توسيع “التنسيق – الحكيم” صالح:

بناء أساس للمساحة هو بالفعل أكثر تعقيدا قليلا. في نفس الوقت يمكن بناء الأساس في كل من الأمثلة المعروفة لمساحات Banach. نشأت المشكلة: هل هناك أساس في كل مساحة Banach؟ هذه المشكلة ، على الرغم من الجهود التي بذلها العديد من علماء الرياضيات ، لم تسفر عن حل لأكثر من 40 عامًا ، ولم تحل سلبًا إلا في عام 1972 (راجع [23] ). في تحليل الدوال ، يتم احتلال مكان مهم بمواضيع “هندسية” ، مكرسة لتوضيح خصائص مجموعات مختلفة في Banach ومساحات أخرى ، على سبيل المثال مجموعات محدبة ، مجموعات مدمجة (هذا الأخير يعني أن كل تسلسل لنقاط مثل هذه المجموعة لديها بعد تقارب إلى نقطة في ) ، إلخ. هنا ، الأسئلة ذات الصياغة البسيطة غالباً ما تكون لها حلول غير تافهة. ترتبط هذه المشكلات ارتباطًا وثيقًا بدراسة التماثل بين المساحات ، وإيجاد ممثلين عالميين في بعض فئات المساحات.

تمت دراسة مساحات وظيفية محددة بالتفصيل ، لأن خصائص هذه المساحات تحدد عادة طبيعة الحل لمشكلة عندما يتم الحصول عليها بواسطة طرق تحليل الدوال. ما يسمى نظريات impleding لمساحات Sobolev ، ، ومختلف التعميمات من هذه ، يمكن أن تكون مثالا على ذلك.

فيما يتعلق بمتطلبات الفيزياء الرياضية الحديثة ، نشأ عدد كبير من المساحات المحددة التي تطرح فيها المشاكل بشكل طبيعي وبالتالي يجب دراستها. عادة ما يتم إنشاء هذه المساحات من المساحات الأولية باستخدام منشآت معينة. تحت الإنشاءات الأكثر استخداما يتم تقديمها في أبسط صيغها.

1) تشكيل مبلغ متعامد من الفضاء هيلبرت ، هو بناء الفضاء من حيث المساحات ، على غرار تشكيل من حيث المسافات أحادية البعد.

2) الانتقال إلى حيز الحصة: نظرا للمنتج الداخلي المتدهور في الفضاء المتجه (هذا هو، ممكن عندما )؛ الفضاء هيلبرت يعرف بأنه الانتهاء من بالنسبة إلى بعد التعرف أولا على 0 جميع تلك المتجهات .

3) تشكيل منتج موتر هو مماثل لتمرير من وظائف متغير واحد إلى وظائف عدة متغيرات . يستخدم بناء مشابه أيضًا لعدد لا حصر له من العوامل ؛ ينظر المرء أيضاً إلى المنتجات المتناظرة المتماثلة والمضادة للاتساق التي تتكون ، في حالة الوظائف ، من وظائف عدة متغيرات لها هذه الخصائص.

4) تشكيل الحد الإسقاطي من مساحات Banach ، أين يعمل على مجموعة معينة من المؤشرات . حسب التعريف، . الطوبولوجيا في ، تقريبا ، من خلال التقارب مما يعنى فيما يتعلق بالقاعدة في كل .

5) تشكيل الحد الاستقرائي من مساحات Banach . حسب التعريف، . الطوبولوجيا في ، تقريبا ، من خلال التقارب مما يعني أن كل تكمن في معين وذلك فيما يتعلق بقاعدة هذا الفضاء.

6) الاستيفاء هو تشكيل المساحات “المتوسطة” من مكانين و ، أين . على سبيل المثال ، البناء من و من الفضاء من الوظائف مع مشتق كسور .

يتم تطبيق الإجراءات 4) و 5) عادة عند بناء مساحات ناقلات طوبولوجية. يميز المرء بين هذه الفراغات الفئة المهمة جداً من المساحات النووية المسماة (راجع الفضاء النووي ) ، كل منها مبني كحد إسقاطى لمساحات هيلبرت مع الخاصية التي ، لكل يمكن للمرء أن يجد مثل ذلك والمشغل إمبلاديدينج هو مشغل هيلبرت شميدت (انظر أدناه ، القسم ).

وقد تم تطوير فرع كبير ومهم من تحليل الدوال والذي يقوم فيه المرء بدراسة مساحات ناقلات طوبولوجية ومعايير مع ترتيب جزئي ، يتم إدخاله بشكل بصري ، وله خصائص طبيعية (مسافات مرتبة جزئيا).

2. وظائف في بحث عن تحليل الدوال

في تحليل الدوال ، تلعب دراسة الوظائف المستمرة والوظائف الخطية دوراً أساسياً (راجع وظيفية مستمرة ؛ وظيفية خطية ) ؛ ترتبط ارتباطا وثيقا خصائصها مع خصائص الفضاء الأصلي .

سمح تكون مساحة Banach والسماح تكون مجموعة من الدالات الخطية المستمرة عليها ؛ هي مساحة متجهة فيما يتعلق بالعمليات المعتادة لإضافة وظائف وضربها بواسطة رقم ، تصبح مساحة Banach إذا قدمنا ​​القاعدة

الفضاء يسمى الثنائي (راجع أيضًا الفضاء المجاور ).

إذا هو متناهية الأبعاد ، ثم كل وظيفية خطية هي من الشكل

أين هي إحداثيات المتجه فيما يتعلق على أساس معين و هي الأرقام التي تحددها الوظيفية. اتضح أن الصيغة تحمل أيضا متى هي مساحة هيلبرت (نظرية رييز). وهي في هذه الحالة ، أين هو متجه معين في . توضح هذه الصيغة أن مساحة هيلبرت تتزامن في الأساس مع ثنائيها.

بالنسبة إلى مساحة باناخ ، فإن الوضع أكثر تعقيدًا: يمكن للمرء أن يبني ، وهذه المساحات قد تكون مختلفة. في نفس الوقت ، هناك دائما وجود impleding الكنسي إلى ، أي لكل منهما يمكن للمرء أن ربط الوظيفية ، أين ، . المساحات لأي منهم تسمى الانعكاسية. بشكل عام ، في حالة وجود مساحة Banach ، فإن وجود وظائف خطية غير تافهة (أي غير صفرية) ليس سؤالًا بسيطًا. تم حل هذا السؤال بسهولة بالإيجاب بمساعدة نظرية هان-باناخ .

الفضاء المزدوج بمعنى ما ، “أفضل” من المساحة الأصلية . على سبيل المثال ، إلى جانب المعيار يمكن إدخال طبولوجيا أخرى (ضعيفة) في التي ، من حيث التقارب ، هي مثل هذا إذا للجميع . في هذه الطبولوجيا وحدة الكرة في مضغوط (وهو ما لا ينطبق أبداً على المساحات اللامتناهية الأبعاد في الهيكل المولَّدة بقاعدة). هذا يجعل من الممكن دراسة بمزيد من التفصيل عددا من الأسئلة الهندسية حول مجموعات في الفضاء المزدوج (على سبيل المثال ، إنشاء بنية مجموعات محدبة ، الخ).

لعدد من المساحات المحددة الفضاء المزدوج يمكن العثور عليها صراحة. ومع ذلك ، بالنسبة لغالبية مساحات Banach ، وخاصةً في مساحات ناقلات الطوبولوجيا ، فإن الوظائف هي عناصر من نوع جديد لا يمكن التعبير عنه ببساطة من حيث التحليل الكلاسيكي. تسمى عناصر المساحة المزدوجة بالوظائف العامة.

بالنسبة للعديد من الأسئلة في  تحليل الدوال

وتطبيقاته ، يتم لعب دور أساسي بواسطة ثلاث مسافات ، أين هي مساحة هيلبرت الأصلية ، هي مساحة ناقلة طوبولوجية (على وجه الخصوص ، مساحة هيلبرت مع منتج داخلي مختلف) و هو الفضاء المزدوج ، ويمكن اعتبار عناصرها كوظائف معممة. الفضاء يسمى في حد ذاته مساحة هيلبرت مزورة.

دراسة الوظائف الخطية على في كثير من النواحي يعزز فهم أعمق لطبيعة الفضاء الأصلي . من ناحية أخرى ، في العديد من الأسئلة ، من الضروري دراسة الوظائف العامة ، وهذا هو ، وظائف غير خطية في حالة لا نهائية الأبعاد (راجع وظيفية غير خطية ). منذ الكرة وحدة في مثل هذا الفضاء غير مضغوط ، وغالبا ما تواجه دراستها الصعوبات الأساسية ، على الرغم ، على سبيل المثال ، مثل مفاهيم مثل اختلاف ، التحليلية ، وما إلى ذلك هي معممة بسهولة. يمكن للمرء أن تنظر في مجموعة من الوظائف وجود خصائص محددة كمساحة ناقلة طوبولوجية جديدة لوظائف “عدد لا نهائي من المتغيرات”. مثل هذه الوظائف تظهر أيضا في بناء منتجات متمددة لانهائية من مسافات وظائف متغير واحد. ترتبط دراسة مثل هذه المساحات ، من المشغلين عليها ، وما إلى ذلك ، بمتطلبات نظرية المجال الكمي (انظر [22] ).

3. المشغلين 

الأهداف الرئيسية للدراسة في تحليل الدوال هي المشغلين ، أين و هي ناقلات طوبولوجية (بالنسبة للجزء الأكبر ، أو المعيارية أو هيلبرت) ، وقبل كل شيء ، المشغلين الخطيين (cf. المشغل الخطي ).

متى و ذات أبعاد محددة ، تشير خطية المشغل إلى أنها من النموذج

أين هي إحداثيات المتجه على أساس معين ، و هي ، بشكل مشابه ، إحداثيات . وهكذا ، في حالة متناهية الأبعاد لكل عامل خطي يتوافق ، من حيث القواعد الثابتة في و ، مصفوفة

الذي يعطي تعبير بسيط ل . دراسة العوامل الخطية في هذه الحالة هي موضوع الجبر الخطي.

يصبح الوضع أكثر تعقيدا عندما و تصبح فراغات لا نهائية الأبعاد (حتى هيلبرت). بادئ ذي بدء ، تنشأ فئتان من المشغلين هنا: المشغلين المتواصلين ، التي تعمل هذه الوظيفة من أجلها هو مستمر (يُطلق عليه أيضًا اسم “محدد” ، نظرًا لأن استمرارية عامل التشغيل بين مسافات Banach تساوي حده) ، والمشغلين غير المحددين ، حيث لا توجد مثل هذه الاستمرارية. مشغلي النوع الأول هم أبسط ، ولكن يتم تلبية تلك النوع الثاني في كثير من الأحيان ، مثل المشغلين التفاضليين من النوع الثاني.

المهم (خاصة بالنسبة لميكانيكا الكم) فئة من المشغلين الذاتي في الفضاء هيلبرت وقد درست أكثر من أي شيء آخر (راجع المشغل ذاتي التوصيل ).

فئات أخرى من المشغلين على ، تم ربطها بشكل وثيق مع المشغلين ذاتية التوصيل (ما يسمى بالمشغلين الوحدويين والعادية ، cf. المشغل الوراثي ؛ المشغل العادي ) ، تم دراستها أيضًا.

من بين الحقائق العامة حول المشغلين المحددين الذين يعملون في مساحة Banach ، يمكن للمرء اختيار بناء حساب التفاضل والتكامل الوظيفي للوظائف التحليلية. أي المشغل يسمى حل المشغل ، أين هو مشغل الهوية و . النقاط التي المشغل المعاكس تسمى تسمى النقاط العادية ، وتسمى مجموعة من النقاط العادية الطيف من . الطيف ليس خاليا أبدا ويكمن في القرص . قيم eigen من ، بالطبع ، تنتمي إلى لكن الطيف ، بشكل عام ، لا يتكون بالكامل منها. إذا هي وظيفة تحليلية محددة في حي من ، و إذا هو كفاف مغلق مغلق والكذب في مجال تحليل ، ثم يضع واحد

والمكالمات وظيفة المشغل. إذا هو متعدد الحدود ، ثم يتم الحصول عليها عن طريق استبدال ببساطة في هذا متعدد الحدود من قبل . المراسلات له خصائص تشابهية مهمة:

وهكذا ، في ظل ظروف محددة على يمكن للمرء أن يحدد ، على سبيل المثال ، ، ، وما إلى ذلك

من بين فئات خاصة من المشغلين التي تعمل على مساحة Banach يتم لعب الدور الأكثر أهمية من قبل ما يسمى بالمشغلات المستمرة أو المدمجة تمامًا (cf. المشغل الكامل المستمر ؛ المشغل المدمج ). إذا مضغوط ، ثم المعادلة ( هو ناقلات معينة و وقد تم دراسة جيدة ناقل). إن نظائر جميع الحقائق التي تحمل المعادلات الخطية في الفراغات المحدودة الأبعاد صالحة أيضاً لهذه المعادلة (ما يسمى نظرية فريدهولم). للمشغلين المدمجة احد الدراسات الظروف التي تضمن أن نظام ناقلات eigen من والمتجهات المرتبطة بها كثيفة في ، أي ، أي متجه في يمكن تقريبها من خلال مجموعات خطية من ناقلات eigen والمتجهات المرتبطة بها ؛ في نفس الوقت ، حتى بالنسبة للمشغلين الصغار ، المشاكل التي تنشأ بشكل طبيعي ولكن يصعب حلها (على سبيل المثال ، نظرية أن كل مشغل من هذا القبيل لديه مساحة فرعية ثابتة تختلف عن 0 وكل من ، وهذا هو ، فضاء جزئي مثل ذلك . في حالة متناهية الأبعاد وجود يتبع تافهة من حقيقة أن الطيف غير فارغ).

طيف مشغل مضغوط منفصل ويمكن أن يتراكم عند 0 فقط. يميز أحدهما الفئات الفرعية الهامة لفئة المشغلات المدمجة وفقًا للمعدل الذي تقترب به قيم eigen 0. وهكذا ، غالباً ما يواجه المرء مشغلي Hilbert – Schmidt. إذا هو المشغل على ، ثم هو عامل هيلبرت شميت إذا وفقط إذا كان مشغل متكامل مع النواة هذا مربع قابل للتلخيص في كلا المتغيرين. كما تمت دراسة مشغلي فولتيرا المدمجة بالتفصيل. كما أجريت دراسة عن المشغلين الطيفيين التي يوجد لها نظير لحل هذه الهوية . وما إلى ذلك (انظر [8] ).

4. بنبات الجبر ونظرية التمثيل.

في المراحل المبكرة من تطور تحليل الدوال ، كانت المشاكل التي تمت دراستها هي تلك التي يمكن ذكرها وحلها من حيث العمليات الخطية على عناصر المساحة وحدها.

واحدة من الأساليب القوية في الرياضيات هي تمثيل الأشياء الرياضية المجردة بواسطة كائنات أبسط (أو أكثر واقعية). على سبيل المثال ، يمكن تفسير النظرية الطيفية على أنها تمثل عامل التشغيل الذاتي من قبل المشغل الذي يضاعف الوظائف القابلة للقياس لفئة معينة بواسطة المتغير المستقل. إذا أخذنا في الاعتبار الضرب من خلال وظائف بوريل ، يحصل المرء على تمثيل لجبر مقنن تبادلي من المشغلين في فضاء هيلبرت. يعطي مثال أكثر عمومية لهذا التمثيل أحد النظريات الرئيسية في نظرية الجبر التبادلي Banach.

سمح يكون الجبر التبادلي Banach ، من أجل البساطة مع الهوية ، أي مساحة Banach التي يوجد فيها تكاثر تبادلي وتربوي من العناصر ، والسماح للقاعدة ترضي . علاوة على ذلك ، دعونا يكون مجموعة من جميع المثل القصوى. ثم يمكن إدخال طوبولوجيا مدمجة بحيث كل عنصر يمثل وظيفة مستمرة ذات قيمة معقدة ، ، وعلاوة على ذلك ، المبلغ والمنتج من الوظائف تتوافق مع المبلغ والمنتج ، على التوالي (انظر [7] ). في دراسة الحالة غير التبادلية تم دراسة نظرية التمثيل خاصة لما يسمى بالجبر مع انبثاق (انظر جبر بانتاخ ).

تم تطوير نظرية تمثيل أكثر ثراء للمجموعات الطوبولوجية (راجع تمثيل مجموعة طوبولوجية ).

5. تحليل الدوال غير الخطي.

وفي نفس الوقت الذي يجري فيه تطوير مفهوم الفضاء وتعميقه ، يجري تطوير مفهوم الوظيفة وتعميمه. في النهاية ، أصبح من الضروري النظر في التعيينات (وليس بالضرورة خطية) من مسافة إلى أخرى. واحدة من المشاكل المركزية في تحليل الدوال غير الخطي هي دراسة مثل هذه التعيينات. وكما هو الحال في الحالة الخطية ، يُطلق على رسم خريطة لمساحة إلى الأرقام (الحقيقية أو المعقدة) اسم وظيفي. بالنسبة إلى التعيينات غير الخطية (على وجه الخصوص ، الوظائف غير الخطية) ، هناك طرق مختلفة لتعريف مفاهيم التفاضل ، والمشتق الاتجاهي ، وما إلى ذلك ، مماثلاً للمفاهيم المقابلة في التحليل الرياضي التقليدي (انظر [11] ، [13 ] ، [15] وتمييز رسم الخرائط ).

هناك مشكلة مهمة في تحليل الدوال غير الخطي هي مشكلة تحديد النقاط الثابتة في رسم الخرائط (انظر [11] ، [13] ، [15] والنقطة الثابتة .

عند دراسة متجهات موجية لرسم الخرائط غير الخطية التي تحتوي على معلمة ، تنشأ ظاهرة حاسمة في التحليل غير الخطي – ما يسمى بالتشعب (انظر [15] ).

في التحري عن النقاط الثابتة ونقاط التشعب ، تستخدم الطرق الطوبولوجية على نطاق واسع: التعميم إلى الفراغات اللانهائية الأبعاد لنظرية Brouwer –Bohl على وجود نقاط ثابتة لتعيينات المساحات المحدودة الأبعاد ، فهرس رسم الخرائط (cf صيغ الفهرس ) ، إلخ.

6. تطبيق تحليل الدوال في الفيزياء الرياضية والنظرية.

أدناه ، يتم إعطاء تلك الفروع من الفيزياء الرياضية التي يتم فيها تطبيق بعض جزء من تحليل الدوال.

1) يتم تطبيق النظرية الطيفية للمشغلين في جميع نظريات الفيزياء الكوانتية: في الكم نظرية الشخص ، في نظرية المجال الكمي وفي الميكانيكا الإحصائية الكمية. بالإضافة إلى ذلك ، يتم تطبيق نظرية طيفية في دراسة نماذج الأنظمة الديناميكية في الميكانيكا الكلاسيكية ، في دراسة المعادلات الخطية في الديناميكا المائية ، في دراسة حقول غيبس ، إلخ.

2) يتم تطبيق نظرية التشتت في فيزياء الكم. تجدر الوالله اعلم ربما يحتمل ان تكون اشارة الى أن النظرية الرياضية الحديثة من نثر نشأت في المقام الأول في الفيزياء. في السنوات الأخيرة ، تم تطبيق نظرية التشتت (المشكلة العكسية) في دمج معادلات النماذج غير الخطية في الفيزياء الرياضية.

3) يتم تطبيق جزيئات Banach في نظرية المجال الكمي ، وخاصة في ما يسمى نظرية المجال البدهي ، وفي دراسة نماذج متكاملة متعددة من حقل كمي وميكانيكا إحصائية. كما تستخدم الجبر فون نيومان في هذه الأسئلة.

4) نظرية التشويش ، وهي أساسًا نظرية التشويش على المشغلين الخطيين ، يتم تطبيقها في جميع مجالات الفيزياء الرياضية تقريبًا: في نظرية المجال الكمي وفي الميكانيكا الإحصائية ، كلاً من التوازن وعدم التوازن (خاصة في دراسة المعادلات الحركية المزعومة ، الأطياف المركبة للأنظمة متعددة الجسيمات ، وما إلى ذلك).

5) يتم تطبيق تكامل االدوال والمقاييس في الفراغات الوظيفية في نظرية المجال الكمي البناء وفي الميكانيكا الإحصائية الكمية.

6) يتم تطبيق العديد من التمثيلات المتكاملة (نظرية رييز ، ونظرية كيلين-ميلمان ، ونظرية شوكيه ، وغيرها) في نظرية مجال الكم البصري وفي الميكانيكا الإحصائية.

7) يتم تطبيق مسافات ناقلات (أساسا مسافات هيلبرت) في نظرية الكم وفي الفيزياء الإحصائية.

8) يتم تطبيق الوظائف المعممة في كل مكان في الفيزياء الرياضية كأداة تحليلية مهمة (انظر أيضا وظيفة معممة ). وبذلك يكون انتهينا من بحث عن تحليل الدوال

 

اقرأ ايضا 

تعرف على نظام كلاسيرا التعليمي ومميزاته الكبيرة